轮换2 做什么：换两个，连做两次回到原位
这一页要回答的是：轮换2 所指的那种置换，具体做什么。定义很短，推论也很短。这一页把记号的读法写清楚，再把由定义一步就能得到的两条性质摆出来，最后说明哪些性质换成更长的轮换就不成立了。
轮换2 循环记号怎么读
先看通用的读法，再看它在长度为 2 时变成什么。
- 通用的读法
- 记号里按次序列出参与的元素。读的时候，每一个元素都换到它右边那个元素的位置上去，排在最末的那个则换回到排在最前的那个的位置上。
- 圈外的元素怎么办
- 不动。记号里没有列出来的元素，一律保持原位。这一点常被略过，但它是「长度」这个说法的依据——长度只数圈上的，不数圈外的。
- 长度为 2 时化简成什么
- 圈上只有两个：前一个换到后一个的位置，后一个换回前一个的位置。一来一回，正好是一次对调。
- 为什么说它退化了
- 长度三个以上时，元素是「依次后移」，谁也没有回到谁的原位上，是一圈真正的轮转。长度为 2 是这条规则的边界情形：轮转与对调在这里重合了。
轮换2 由定义直接得到的两条
这两条不需要额外条件，从定义一步就能看出来。
- 它的逆就是它自身
- 要把两个元素换回去，做的还是同一次互换。换句话说，撤销它的那个操作，和它本身是同一个置换。
- 连做两次得到恒等置换
- 上一条换个说法就是这一条：做一次，两个元素互换；再做一次，各自回到原位。结果是什么都没动。
- 两条其实是一回事
- 一个运算的逆等于它自己，与它的平方等于恒等，说的是同一件事的两面。写成两条，是因为在用的时候常常只想得起其中一条。
- 依据在哪里
- 两条都直接出自定义：定义说它只交换两个元素、其余不动，没有引入任何方向性，所以正做反做一样。
轮换2 与更长的轮换，哪些性质不通用
左栏是长度为 2 时成立的，右栏是长度更大时的情形。
| 长度为 2 时 | 长度为 3 或更大时 |
|---|---|
| 逆就是它自身 | 不成立。一圈元素依次后移，要撤销它得反着转一圈，那是另一个轮换。 |
| 连做两次回到原位 | 不成立。长度为 3 的轮换要连做三次才回到原位，一般地，长度是几就要做几次。 |
| 本身就是一个对换 | 它本身不是；不过拆开来，可以表成好几个对换连乘。这正是下一页要讲的分解。 |
| 轮转与对调重合 | 不重合。长度三个以上时，没有任何一对元素是彼此交换的，每一个都挪到了别人的位置上。 |