轮换2 是分解的基本构件：拆法不唯一，奇偶是定的
这一页要回答的是：轮换2 怎么成为所有置换的构件。这一页的三条结论必须一起读。单看「拆法不唯一」会以为什么都定不下来；单看「奇偶一致」又会以为拆法只有一种。两条同时成立，才是这件事的真相。
轮换2 分解：三条同时成立
三条缺一不可，少读一条就会把结论理解反。
- 第一条：分解一定存在
- 任意一个轮换，都可以写成若干个对换的乘积。再加上「任意置换都能写成不相交轮换之积」这一条，整套置换就都落在对换上了。
- 第二条：写法不唯一
- 同一个置换，可以这样拆，也可以那样拆。不同拆法用到的对换个数甚至都可能不一样。这一条常被忽略，而它正是下一条为什么算「定理」的原因。
- 第三条：奇偶性一致
- 尽管个数可以不同，所有拆法用到的个数，奇偶却总是一样的。同一个对象，不会今回得出双数、下回又冒出单数。
- 由它定出来的两个名目
- 能写成偶数个对换之积的，叫偶置换；能写成奇数个的，叫奇置换。正因为有第三条，这两个名目才定义得下来。
- 再往上一层：一个子群
- 偶置换之间相乘还是偶置换，所以把所有偶置换收在一起，得到的是一个子群，名叫交错群。奇置换那一半不行——两个奇置换相乘得到的是偶置换，收不住。
轮换2 个数的奇偶，与轮换长度正相反
左栏是轮换的长度，右栏是它分解出的对换个数的奇偶。这一处最容易记反。
| 轮换的长度是 | 分解出的对换个数是 |
|---|---|
| 奇数 | 偶数个。长度与个数的奇偶恰好相反，不是一致。 |
| 偶数 | 奇数个。同样是相反的。长度为 2 本身就是一个对换，个数是一，正是奇数。 |
| 这条对应怎么用 | 先看轮换长度是奇是偶，再翻一次，就得到它是偶置换还是奇置换。中间那一次翻转，是最常漏掉的一步。 |
| 两个偶置换相乘 | 还是偶置换。两个奇的相乘，得出来的同样是偶的；一奇一偶相乘才是奇置换。 |
轮换2 关于分解与奇偶，几个容易问到的地方
- 拆法都不唯一了，奇偶怎么还能是定的
- 这两件事不矛盾。不唯一说的是写法和个数，定的是个数的奇偶。打个比方：同一笔钱可以用不同张数的纸币凑出来，但某一条约束下的某个性质仍然可以保持不变。这里保持不变的就是奇偶。
- 长度是偶数，分解出的个数也是偶数吗
- 不是，正相反。圈上是双数个元素的，拆出来反倒是单数个；圈上单数个的，拆出来是双数个。最省事的记法是拿长度为 2 的自己核一遍：它本身就是一个对换，个数是一，而长度是二。
- 奇置换也能构成一个子群吗
- 不能。两个奇置换相乘得到的是偶置换，也就是说奇置换的集合对乘法不封闭，连「乘完还在里面」这一条都不满足。真正撑得起一个子群的，是偶的那一边。
- 为什么这里不给证明
- 本站要写准的是结论和它们的适用范围——哪一条对任意轮换成立、哪一条对任意置换成立、哪一条要看奇偶。证明另属一套论证，铺开会把这几条的边界冲淡，所以这里不写。